Calculando Vigas Poligonais
Determinar as reações nos apoios e esboçar os diagramas dos esforços solicitantes.
a- Calcular as reações nos apoios
O carregamento na barra AC gera uma força resultante de 6kN, a 1m do ponto A.Impondo-se o equilíbrio na estrutura tem-se:
• Σ X = 0 = Xa – 5=>Xa = 5 kN
• Σ M(A) = 0 = -6*1 – 10*3 + 4Yb=> Yb = 5,25 kN
• Σ M(B) = 0 = -4Ya + 6*3 + 10*1 + 5*3=> Ya = 10,75 kN
b- Diagrama de corpo livre, e aplicação do teorema do corte
Devido às varias vigas ( em direções e com carregamentos diferentes), para se obter o diagrama dos esforços solicitantes são necessários vários cortes ( com as respectivas seções) para perceber as transferências dos esforços (caminhamento das forças) até os apoios.
Seção D1:
Transferindo as forças da extremidade livre da viga até o ponto D, tem-se além das forças previamente existentes, os efeitos dessas transferência. Aplicar tais forças na extremidade livre é diferente de aplicá-las em D. A força cortante de 10kN quando transferida para D é mecanicamente equivalente a uma força de 10kN e a um momento. Com a distância de D1 a linha de aplicação da força é de 1m, esse momento é de 10*1= 10kN.m. Além disso, em D1, há a força normal de 5kN que é transferida da extremidade livre e não gera nenhum efeito (forças normais transfere-se por todas as seções ortogonais a essas forças sem gerar nenhum efeito adicional).
Seção D2:
D2 esta a um dx ou dy de D1, portanto não produz nenhum efeito além do que se observa na própria transferência. Note que na viga horizontal a força de 10kN que era cortante na viga vertical transforma-se em uma força normal. A força normal de 5kN em D1 transforma-se em força cortante em D2. O momento fletor que em D1 tracionava a fibra superior, em D2 traciona a fibra da esquerda.
Seção C1:
Transferindo as forças do ponto D para o ponto C, para que sejam mecanicamente equivalentes além das forças existentes em D, em C vai surgir o momento de
5kN * 3m = 15kN.m. Há ainda o momento aplicado em D que é transferido para a seção C. Não surge nenhum efeito além do próprio momento pois cada momento se transfere para cada uma das seções transversais ao eixo, integral e isoladamente. Assim em C, o momento resultante é de 5kN.m em sentido anti-horário.
Seção C2:
Aplicando o teorema do corte, para a seção C2 transferem-se as forças que estavam no apoio B. Assim, em C2 além da força de 5,25kN vai surgir o momento de valor ,25kN*2m= 10,5kN.m.
Seção C3:
Aplicando o teorema do corte, para a seção C3 transferem-se
todas as forças e momentos obtidos em C1 e C2, e obtém-se os resultados.
Apenas para relembrar, quando se aplica o teorema do corte, a estrutura original fica dividida em duas. Os esforços que surgem na seção da metade consideradas são os efeitos dos esforços que ficaram na metade desconsiderada. Os esforços que surgem na seção da metade considerada são os esforços que equilibram os esforços que ficaram nessa metade considerada. É por isso que as forças no apoio A não são transferidas para C3 no corte feito.
c- Diagrama dos esforços solicitantes
Devido as varias seções os gráficos que representam a variação das forças normais e cortantes podem ser desenhadas em qualquer lado da viga, pois não se estabelece um eixo como positivo ou negativo. Porém o sinal devera indicar se a força é positiva ou negativa.
De acordo com a convenção adotada no caso das forças normais, forças de tração (de dentro para fora da seção da viga) possuem sinal negativo.
Para forças cortantes, o sinal positivo é atribuído para aquela força que tende girar a estrutura /seção no sentido horário. A força cortante sera negativa se essa força tende a girar a estrutura/seção no sentido anti-horário.
Normal:
Cortante:
Para o momento fletor, a convenção estabelece que os gráficos que mostram a sua variação devem ser desenhados do lado tracionado. Não se colocam os sinais de positivo ou negativo. A linha deve permanecer do lado da viga que é flexionada. O diagrama dos momentos fletores da estrutura analisada mostra claramente quais as fibras tracionadas.
a- Calcular as reações nos apoios
O carregamento na barra AC gera uma força resultante de 6kN, a 1m do ponto A.Impondo-se o equilíbrio na estrutura tem-se:• Σ X = 0 = Xa – 5=>Xa = 5 kN
• Σ M(A) = 0 = -6*1 – 10*3 + 4Yb=> Yb = 5,25 kN
• Σ M(B) = 0 = -4Ya + 6*3 + 10*1 + 5*3=> Ya = 10,75 kN
b- Diagrama de corpo livre, e aplicação do teorema do corte
Devido às varias vigas ( em direções e com carregamentos diferentes), para se obter o diagrama dos esforços solicitantes são necessários vários cortes ( com as respectivas seções) para perceber as transferências dos esforços (caminhamento das forças) até os apoios.
Seção D1:
Transferindo as forças da extremidade livre da viga até o ponto D, tem-se além das forças previamente existentes, os efeitos dessas transferência. Aplicar tais forças na extremidade livre é diferente de aplicá-las em D. A força cortante de 10kN quando transferida para D é mecanicamente equivalente a uma força de 10kN e a um momento. Com a distância de D1 a linha de aplicação da força é de 1m, esse momento é de 10*1= 10kN.m. Além disso, em D1, há a força normal de 5kN que é transferida da extremidade livre e não gera nenhum efeito (forças normais transfere-se por todas as seções ortogonais a essas forças sem gerar nenhum efeito adicional).Seção D2:
D2 esta a um dx ou dy de D1, portanto não produz nenhum efeito além do que se observa na própria transferência. Note que na viga horizontal a força de 10kN que era cortante na viga vertical transforma-se em uma força normal. A força normal de 5kN em D1 transforma-se em força cortante em D2. O momento fletor que em D1 tracionava a fibra superior, em D2 traciona a fibra da esquerda.
Seção C1:
Transferindo as forças do ponto D para o ponto C, para que sejam mecanicamente equivalentes além das forças existentes em D, em C vai surgir o momento de
5kN * 3m = 15kN.m. Há ainda o momento aplicado em D que é transferido para a seção C. Não surge nenhum efeito além do próprio momento pois cada momento se transfere para cada uma das seções transversais ao eixo, integral e isoladamente. Assim em C, o momento resultante é de 5kN.m em sentido anti-horário. Seção C2:
Aplicando o teorema do corte, para a seção C2 transferem-se as forças que estavam no apoio B. Assim, em C2 além da força de 5,25kN vai surgir o momento de valor ,25kN*2m= 10,5kN.m.
Seção C3:
Aplicando o teorema do corte, para a seção C3 transferem-se
todas as forças e momentos obtidos em C1 e C2, e obtém-se os resultados.
Apenas para relembrar, quando se aplica o teorema do corte, a estrutura original fica dividida em duas. Os esforços que surgem na seção da metade consideradas são os efeitos dos esforços que ficaram na metade desconsiderada. Os esforços que surgem na seção da metade considerada são os esforços que equilibram os esforços que ficaram nessa metade considerada. É por isso que as forças no apoio A não são transferidas para C3 no corte feito.
c- Diagrama dos esforços solicitantes
Devido as varias seções os gráficos que representam a variação das forças normais e cortantes podem ser desenhadas em qualquer lado da viga, pois não se estabelece um eixo como positivo ou negativo. Porém o sinal devera indicar se a força é positiva ou negativa.
De acordo com a convenção adotada no caso das forças normais, forças de tração (de dentro para fora da seção da viga) possuem sinal negativo.
Para forças cortantes, o sinal positivo é atribuído para aquela força que tende girar a estrutura /seção no sentido horário. A força cortante sera negativa se essa força tende a girar a estrutura/seção no sentido anti-horário.
Normal:
Cortante:
Para o momento fletor, a convenção estabelece que os gráficos que mostram a sua variação devem ser desenhados do lado tracionado. Não se colocam os sinais de positivo ou negativo. A linha deve permanecer do lado da viga que é flexionada. O diagrama dos momentos fletores da estrutura analisada mostra claramente quais as fibras tracionadas.
Calculando Vigas Inclinadas
Determina as reações nos apoios e esboça os diagramas dos esforços solicitantes.
a- Calcular as reações nos apoios
Antes de qualquer coisa, veja que, devido à inclinação da viga, a força resultante do carregamento de 3 kN/m não está sobre 4m, mas sim,sobre o valor do comprimento da viga, que pode ser obtido por Pitágoras. Resulta em 5m.Logo a força resultante é de 3kN/m . 5m = 15kN no meio da barra.
Impõe-se a condição para que haja equilíbrio : o momento em torno de qualquer ponto deve ser igual a zero. Neste caso, adota-se como pólo o ponto C para eliminar as incógnitas Yb e Xa.
• Σ X = 0 = Xa => Xa = 0
• Σ M(A) = 0 = -15*2 + Yb*4
=> Yb = 7,5kN
• Σ M(C) = 0 = -Ya*4 + 15*2
=> Ya = 7,5kN
b- Diagrama de corpo livre, e aplicação do teorema do corte
Como eixo dos x para traçar os diagramas dos esforços solicitantes utiliza-se o eixo da própria viga com origem em A e a variável x como sendo a medida desde A.
Seção S1
• sen a = 3/5 = 0,6
• cos a = 4/5 = 0,8
• Σ X = 0 = N + 7,5sen a – 3x.sen a=> N = - 4,5 + 1,8x
• Σ Y = 0 = 7,5.cos a – 3x.cos a – V=> V = 6 – 2,4x
• Σ M(S1) = 0 = (-7,5.cos a)*x + (3x.cos a)*x/2 + M=>M = 6x – 1,2x2
Para X entre 0 e 5 ( lembrar que o eixo x é o mesmo da barra, que tem 5m):
• N(x) = - 4,5 + 1,8x
o N(0) = -4,5 kN
o N(5) = 4,5 kN
• V(x) = 6 – 2,4x
o V(0) = 6 kN
o V(5) = - 6 kN
• M(x) = 6x – 1,2x2
o M(0) = 0
o M(5/2) = 7,5 kN.m
o M(5) = 0
c- Diagrama de esforços solicitantes
Calculando Viga Simplesmente Apoiada
a- Calcular as reações nos apoios
Antes de qualquer coisa, veja que, devido à inclinação da viga, a força resultante do carregamento de 3 kN/m não está sobre 4m, mas sim,sobre o valor do comprimento da viga, que pode ser obtido por Pitágoras. Resulta em 5m.Logo a força resultante é de 3kN/m . 5m = 15kN no meio da barra.
Impõe-se a condição para que haja equilíbrio : o momento em torno de qualquer ponto deve ser igual a zero. Neste caso, adota-se como pólo o ponto C para eliminar as incógnitas Yb e Xa.
• Σ X = 0 = Xa => Xa = 0
• Σ M(A) = 0 = -15*2 + Yb*4
=> Yb = 7,5kN
• Σ M(C) = 0 = -Ya*4 + 15*2
=> Ya = 7,5kN
b- Diagrama de corpo livre, e aplicação do teorema do corte
Seção S1
• sen a = 3/5 = 0,6
• cos a = 4/5 = 0,8
• Σ X = 0 = N + 7,5sen a – 3x.sen a=> N = - 4,5 + 1,8x
• Σ Y = 0 = 7,5.cos a – 3x.cos a – V=> V = 6 – 2,4x
• Σ M(S1) = 0 = (-7,5.cos a)*x + (3x.cos a)*x/2 + M=>M = 6x – 1,2x2
• N(x) = - 4,5 + 1,8x
o N(0) = -4,5 kN
o N(5) = 4,5 kN
• V(x) = 6 – 2,4x
o V(0) = 6 kN
o V(5) = - 6 kN
• M(x) = 6x – 1,2x2
o M(0) = 0
o M(5/2) = 7,5 kN.m
o M(5) = 0
Calculando Viga Simplesmente Apoiada
Calcular as reações e esboçar os diagramas dos esforços solicitantes.
a- Calcular as reações nos apoios: A unica força ativa é P. Nas articulações, como não há momento fletor aplicado, á se sabe que o momento fletor é zero, pois o giro é permitido. Aplicam-se as condições de equilíbrio, (somatória) a resultante das forças deve ser zero e a somatória dos momentos em torno de qualquer ponto deve ser zero.
Admitindo que L= a+b, temos que:
• Σ X = 0 = Xa => Xa = 0
• Σ M(A) = 0 = P.a + Yb.(a+b) => Yb = P.a/L
• Σ M(B) = 0 = -Ya.L + P.b => Ya = P.b/L
Há sempre três equações independentes formando o sistema possível determinado com três incógnitas do problema . Há outras equações (pro ex. a somatória no Y), que podem ser utilizadas para verificação:
• Σ Y = Ya – P + Yb = P (b + a – L )/L = 0 => OK
A verificação leva sempre a uma condição necessária, mas que não é suficiente.
b- Diagrama do corpo livre, e a aplicação do teorema do corte: Neste caso há necessidade de se fazer dois cortes, uma antes da força P e um depois, obtendo-se as seções S1 e S2
* Seção S1
• Σ X = 0 = N => N = 0
• Σ Y = 0 = P.b/L – V => V = P.b/L
• Σ M(S1) = 0 = - P.b.x/L + M => M = P.b.x/L
* Seção S2
• Σ X = 0 = N => N = 0
• Σ Y = 0 = P.b/L – P – V =>
• Σ M(S2) = 0 = - P.b.x/L + P.(x – a) + M =>
c- Diagramas de solicitantes:
Notemos que neste exemplo há um conjunto de equações em cada uma das seções.
A força cortante é positiva na seção à esquerda da força P, pois nessa seção a força cortante tende a girar a peça restante no sentido horário. O valor em A pode ser obtido simplesmente observando que a reação em A é a própria força cortante.
A força cortante é negativa na seção à direita da força P, neta seção a força cortante tende a girar a peça restante no sentido anti-horário. O valor em B pode ser obtido simplesmente observando que a reação em B é a pro´pria força cortante.
O diagrama do momento fletor pode ser traçado com os valores
obtidos nas equações. Os valores em A e em B são zero , pois pelo diagrama do corpo livre não há momento em A e em B. Aplicando-se o teorema do corte junto ao ponto de aplicação da força P e reduzindo os esforços ativos em A ou em B obtêm-se os momentos fletores.
a- Calcular as reações nos apoios: A unica força ativa é P. Nas articulações, como não há momento fletor aplicado, á se sabe que o momento fletor é zero, pois o giro é permitido. Aplicam-se as condições de equilíbrio, (somatória) a resultante das forças deve ser zero e a somatória dos momentos em torno de qualquer ponto deve ser zero.
Admitindo que L= a+b, temos que:
• Σ X = 0 = Xa => Xa = 0
• Σ M(A) = 0 = P.a + Yb.(a+b) => Yb = P.a/L
• Σ M(B) = 0 = -Ya.L + P.b => Ya = P.b/L
Há sempre três equações independentes formando o sistema possível determinado com três incógnitas do problema . Há outras equações (pro ex. a somatória no Y), que podem ser utilizadas para verificação:
• Σ Y = Ya – P + Yb = P (b + a – L )/L = 0 => OK
A verificação leva sempre a uma condição necessária, mas que não é suficiente.
b- Diagrama do corpo livre, e a aplicação do teorema do corte: Neste caso há necessidade de se fazer dois cortes, uma antes da força P e um depois, obtendo-se as seções S1 e S2
* Seção S1
• Σ X = 0 = N => N = 0
• Σ Y = 0 = P.b/L – V => V = P.b/L
• Σ M(S1) = 0 = - P.b.x/L + M => M = P.b.x/L
* Seção S2
• Σ X = 0 = N => N = 0
• Σ Y = 0 = P.b/L – P – V =>
V = P.(b – L)/L = - P.a/L
• Σ M(S2) = 0 = - P.b.x/L + P.(x – a) + M =>
M = P.a.(-x/L + 1)
c- Diagramas de solicitantes:
Notemos que neste exemplo há um conjunto de equações em cada uma das seções.
A força cortante é positiva na seção à esquerda da força P, pois nessa seção a força cortante tende a girar a peça restante no sentido horário. O valor em A pode ser obtido simplesmente observando que a reação em A é a própria força cortante.
A força cortante é negativa na seção à direita da força P, neta seção a força cortante tende a girar a peça restante no sentido anti-horário. O valor em B pode ser obtido simplesmente observando que a reação em B é a pro´pria força cortante.
O diagrama do momento fletor pode ser traçado com os valores
obtidos nas equações. Os valores em A e em B são zero , pois pelo diagrama do corpo livre não há momento em A e em B. Aplicando-se o teorema do corte junto ao ponto de aplicação da força P e reduzindo os esforços ativos em A ou em B obtêm-se os momentos fletores.
Determinar as reações no apoio e esboçar os diagramas dos esforços solicitantes na viga em balanço. A força distribuída por comprimento (p) esta aplicada em todo o comprimento (a ) da viga em balanço.
a- Determinar as reações no engastamento
A força p distribuída pelo comprimento a é mecanicamente equivalente é p.a aplicada a uma distancia a/2 do ponto A. Se para a estrutura estar em equilíbrio a resultante das forças aplicadas deve ser nula e o momento em torno de qualquer ponto deve ser nulo.
Então pode-se impor o equilíbrio na barra:
• Σ X = 0 = Xa => Xa = 0
• Σ Y = 0 = Ya – p.a => Ya = p.a
• Σ M(A) = 0 = Ma – p.a.a/2 => Ma = p.a2/2
b- Diagrama do corpo livre, e aplicação do teorema do corte.
Para conhecer como os esforços se distribuem ao longo da barra basta obtermos o diagrama dos esforços solicitantes. Corta-se a barra em uma seção genérica S a uma distância x de A, determina-se os esforços solicitantes atuantes nessa seção: aforça normal (N), a força cortante (V) e o momento fletor (M).
.
• Σ X = 0 = N => N = 0
•Σ Y = 0 = p.a – p.x – V = V = p.(a – x)
• Σ M(S) = 0 = p.a2/2 – p.a.x + p.x.x/2 + M => M = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)
Com isso, obtém-se os esforços solicitantes em qualquer ponto da barra. As expressões, em função de x, também permitem esboçar os diagramas desses esforços solicitantes.
c- Diagramas dos esforços solicitantes
Para esboçar os diagramas pedidos, deve-se obter os valores de determinados pontos. Em particular, no início e no fim da barra.
• N(x) = 0
• V (x) = p.(a – x)
o V(0) = p.a
o V(a) = 0
• M(x) = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)
o M(0) = - p.a2/2
o M(a/2) = - p.a2/8
o M(a) = 0
A força p distribuída pelo comprimento a é mecanicamente equivalente é p.a aplicada a uma distancia a/2 do ponto A. Se para a estrutura estar em equilíbrio a resultante das forças aplicadas deve ser nula e o momento em torno de qualquer ponto deve ser nulo.
Então pode-se impor o equilíbrio na barra:
• Σ X = 0 = Xa => Xa = 0
• Σ Y = 0 = Ya – p.a => Ya = p.a
• Σ M(A) = 0 = Ma – p.a.a/2 => Ma = p.a2/2
b- Diagrama do corpo livre, e aplicação do teorema do corte.
Para conhecer como os esforços se distribuem ao longo da barra basta obtermos o diagrama dos esforços solicitantes. Corta-se a barra em uma seção genérica S a uma distância x de A, determina-se os esforços solicitantes atuantes nessa seção: aforça normal (N), a força cortante (V) e o momento fletor (M).
.
• Σ X = 0 = N => N = 0
•Σ Y = 0 = p.a – p.x – V = V = p.(a – x)
• Σ M(S) = 0 = p.a2/2 – p.a.x + p.x.x/2 + M => M = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)
Com isso, obtém-se os esforços solicitantes em qualquer ponto da barra. As expressões, em função de x, também permitem esboçar os diagramas desses esforços solicitantes.
c- Diagramas dos esforços solicitantes
Para esboçar os diagramas pedidos, deve-se obter os valores de determinados pontos. Em particular, no início e no fim da barra.
• N(x) = 0
• V (x) = p.(a – x)
o V(0) = p.a
o V(a) = 0
• M(x) = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)
o M(0) = - p.a2/2
o M(a/2) = - p.a2/8
o M(a) = 0
Vigas
Quando dispomos de um elemento estrutural projetado para suportar diversas cargas em sua extensão, este elemento recebe o nome de viga. Estão normalmente sujeitas a cargas dispostas verticalmente, o que resulta em esforços de cisalhamento e flexão, mas por normalmente serem retas e prismáticas tornam-se resistentes a esses esforços. Quando cargas não verticais são aplicadas a estruturas, surgem forças axiais (formam eixos) o que torna mais complexa a analise estrutural.
Ao efetuar o dimensionamento de uma viga, seja de qualquer material como aço, madeira, concreto, duas fases são definidas separadamente. A primeira fase é o cálculo dos esforços da estrutura, dos momentos fletores (flexionar) e forças cortante. A segunda é o dimensionamento, onde são verificadas quais serão as dimensões estruturais necessárias para resistir aos esforços solicitados. Então vamos às definições:
-Apoios: pontos de sustentação de qualquer estrutura;
-Força Normal (N): força que atua perpendicularmente à seção transversal, ou seja, na direção do eixo da peça. Pode-se expressar em KN.
-Força Cortante (V): força que atua no plano da seção transversal, ou seja, perpendicularmente ao eixo da peça. Pode-se expressar em KN.
-Momento Fletor ou de Flexão (M): momento que atua em torno dos eixos contidos no plano da seção transversal. Pode-se expressar em KN.m.
-Esforços Solicitantes: força normal, força cortante, momento fletor e momento de torção.
-Carregamentos: força aplicada em um único ponto, força aplicada em um comprimento (força distribuída por unidade de comprimento), força aplicada em uma superfície (força distribuída por unidade de área). Pode-se expressar em KN em KN/m, ou em KN/m².
Apoio no Plano
Engastamento (encravado): Impede qualquer movimento (translação e rotação) pelo aparecimento de reações. Na figura Xa impede a translação horizontal, Ya impede a translação vertical e Ma impede giro em torno do ponto de engastamento.
Articulação Fixa: Apoio em que não se permite nenhum tipo de translação para a estrutura. Na figura, as reações Xa e Ya impedem a translação horizontal e vertical, respectivamente. A articulação fixa permite o giro em torno do eixo ortogonal ao plano de Xa e Ya. O apoio de uma cadeira sobre um piso rústico pode sre considerado uma articulação fixa.
Articulação Móvel: Apoio em que se impede apenas a translação perpendiculares (retas que se encontram). Na figura Yb impede apenas a translação vertical.
Ao efetuar o dimensionamento de uma viga, seja de qualquer material como aço, madeira, concreto, duas fases são definidas separadamente. A primeira fase é o cálculo dos esforços da estrutura, dos momentos fletores (flexionar) e forças cortante. A segunda é o dimensionamento, onde são verificadas quais serão as dimensões estruturais necessárias para resistir aos esforços solicitados. Então vamos às definições:
-Apoios: pontos de sustentação de qualquer estrutura;
-Força Normal (N): força que atua perpendicularmente à seção transversal, ou seja, na direção do eixo da peça. Pode-se expressar em KN.
-Força Cortante (V): força que atua no plano da seção transversal, ou seja, perpendicularmente ao eixo da peça. Pode-se expressar em KN.
-Momento Fletor ou de Flexão (M): momento que atua em torno dos eixos contidos no plano da seção transversal. Pode-se expressar em KN.m.
-Esforços Solicitantes: força normal, força cortante, momento fletor e momento de torção.
-Carregamentos: força aplicada em um único ponto, força aplicada em um comprimento (força distribuída por unidade de comprimento), força aplicada em uma superfície (força distribuída por unidade de área). Pode-se expressar em KN em KN/m, ou em KN/m².
Apoio no Plano
Engastamento (encravado): Impede qualquer movimento (translação e rotação) pelo aparecimento de reações. Na figura Xa impede a translação horizontal, Ya impede a translação vertical e Ma impede giro em torno do ponto de engastamento.
Articulação Fixa: Apoio em que não se permite nenhum tipo de translação para a estrutura. Na figura, as reações Xa e Ya impedem a translação horizontal e vertical, respectivamente. A articulação fixa permite o giro em torno do eixo ortogonal ao plano de Xa e Ya. O apoio de uma cadeira sobre um piso rústico pode sre considerado uma articulação fixa.
Articulação Móvel: Apoio em que se impede apenas a translação perpendiculares (retas que se encontram). Na figura Yb impede apenas a translação vertical.
